Logaritma Fonksiyonu Ve Logaritma Hakkında Bilgi

Apsisler ekseninin 1 ve x (pozitif) noktalarından bu eksene çizilen dikmelerle, y = k/x eğrisi ve Ox ekseninin sınırladığı değişken bölgenin A(x) alanının belirlediği fonksiyon (logaritma fonksiyonu) ve buna dayandırılan bir hesap yöntemi (logaritma). Logaritma fonksiyonu "log" biçiminde kısaltılır ve x>1 ise, logx söz konusu bölgenin alanına; 0 < x < 1 ise, alanın eksi işaretlisine ve x=1 ise, sıfıra eşittir. a, 1'den farklı pozitif bir gerçel sayı olmak üzere y=k/x fonksiyonundaki k, bölgenin alanı A (a)=1 olacak biçimde seçilirse, söz konusu logaritma fonksiyonu "a tabanına göre" olur ve y=logax yazılır. Bu yazılış "x'in a tabanına göre logaritması y'dir" anlamına gelir. Tabanı 10 olan logaritma fonksiyonuna "bayağı logaritma", tabanı e sayısı (2,71828...) olanına da "doğal logaritma" fonksiyonu denir. Logaritma için herhangi bir taban seçilebilirse de en çok 10 tabanlı ve e tabanlılar kullanılır. Bayağı logaritma log, doğal logaritma ise ln simgesiyle gösterilir. Her artı gerçel sayının kendi tabanına göre logaritması 1' dir. Örneğin log1010 = 1 ve Ine = 1. Herhangi bir b tabanına göre logaritma, logax = logb x / logba formülüyle a tabanına göre ifade edilebilir. Logaritma fonksiyonu artandır; yani a, b'den küçük oldukça log a < log b eşitsizliği gerçeklenir. Logaritma fonksiyonunun y = k/x hiperbolünden elde edilmesi göz önünde bulundurularak şu önermeler kanıtlanabilir: "İki sayının çarpımının logaritması, bu sayıların logaritmalarının toplamına; bölümünün logaritmasıysa logaritmaların farkına eşittir." Ayrıca logaritma fonksiyonunun bire-bir, örten ve sürekli olduğu kanıtlanabilir. Logaritma fonksiyonunun grafiği (1,0) noktasından geçer. Bu fonksiyon artandır ve x sıfıra yaklaşırken, log x, eksi sonsuza gider... Özellikle bayağı logaritma, hesaba dayalı işlemlerde kolaylık sağlar. Bu amaçla hazırlanan cetvellerden, bir sayının logaritması ya da logaritması verilen sayının kendisi bulunabilir. Her artı gerçel sayının bayağı logaritması bir tamsayı ("karakteristik") ile [0,1] aralığındaki bir sayının ("mantis") toplamı biçiminde ifade edilebilir. Örneğin log 6512'ye eşit olan 3,81371 sayısının karakteristiği 3, mantisi 0,81371'dir. Bir sayının logaritmasının karakteristiği, basamak sayısının bir eksiğine eşittir. Örneğin log 100'ün karakteristiği 2, log 0,17'ninki -1'dir. Verilen bir sayının logaritması cetvelden bulunurken önce karakteristik hesaplanır, sonra mantis aranır. Örneğin log 0,0709 için karakteristik -2'dir; mantisiyse log 709'un mantisine eşit olduğundan, bu, cetvelden bulunur: 0,84566. Sonuçta log 0,0709 = 2,84566 = -2 + 0,84566 = -1,15433 tür. Logaritması verilen sayının bulunmasındaysa tersi bir yol izlenir. Örneğin log x = -1,15596 verildiğinde, x'in bulunması işlemi ("antilogaritma") şöyledir: Önce log x = 2,844404 olarak yazılır ve cetvelden, mantisi 0,84404 olan sayı aranır. Bu, 6983'tür. Mantis dikkate alınarak x = 0,06983 elde edilir. Bir sayının çarpma işlemine göre tersinin logaritmasına "kologaritma" denir ve colog x yazılır. Örneğin 0,1 sayısı için colog 0,1 = log (1/0.1) = log 10 = 1'dirÉ