Sembolik Mantık, ders ve çalışma notu

Sembolik Mantık

Çıkarımları sembolik bir dille denetlemek için geliştirilmiştir. Çıkarım, eldeki bilgilerden bir sonuç çıkarma işlemidir. Eldeki bilgilerden beklenen sonuçların çıkıp çıkmadığını araştırmaya denetleme denir.

Sembolik mantık günlük dildeki önermeleri semboller yardımıyla çok anlamlılığa ve belirsizliğe yer vermeden denetleyebilmeyi sağlar.

A. ÖNERMELER MANTIĞI

1. Önermelerin Sembolleştirilmesi

Önermeler mantığında her bir yargı p, q, r... gibi sembollerle ifade edilir. Örnek:

Dünya gezegendir.           Dünya'nın şekli elipstir.     Güneş yakıcıdır.    

           p                                          q                                   r

 2. Önerme Eklemleri : ~, Ú, Ù, Ş, Û

Dünya gezegen ise güneş yakıcıdır. (p Ş r)

p Ş r

Dünya gezegendir ve şekli elipstir. (p Ù q)

p Ù q

Ay, ışık kaynağı değildir. (~p)

p ~

Bitkiler köklüdür. (p)

Dünya gezegendir veya güneş yakıcıdır. (p Ú r)

p Ú r

Güneş doğduğunda ancak gündüz olur. (p Û r)

p Û r

3. Önerme Çeşitleri

a. Basit önerme

Bir tek yargısı olan önermeler basittir.

Aristotales filozoftur.

         p

Bazı çiçekler kokuludur.

         q

b. Bileşik önerme

Birden fazla yargısı olan önermeler bileşiktir.

Aristotales filozoftur veya bilim adamıdır. (p Ú q)

p q

Yağmur yağıyor ise hava bulutludur. (r Ş s)

r s

Not: İçinde önerme eklemi taşıyan önermeler de birden fazla yargı taşıdıklarından bileşiktirler.

İstanbul başkent değildir (~ p)

p (bileşen) ~

Kuşlar kanatlıdır ve iki ayaklıdır. (q Ù r)

q (bileşen) r (bileşen) 
 

Bileşik önermeyi meydana getiren önermelerin her birine bileşen denir. Hiçbir bileşeni olmayan önermeler basittir. Sadece değilleme (~) ekleminin tek bileşeni vardır. Kuşlar ötücüdür. (p) önermesi basittir.

Kuşlar ötücü değildir. (~p) önermesi bileşiktir. 
 4. Ana Eklem - Ana Bileşen

Birden fazla bileşik önermeden oluşan önermelerde en son işleme katılan eklem, ana eklemdir.

Ana eklemin karşıladığı önermeler de ana bileşendir.

5. Temel Doğruluk Çizelgeleri

a. Değilleme eklemi (~)

Bilim faydalıdır. (p)

Bilim faydalı değildir. (~ p)

p ~

Bilimin faydalı olmadığı doğru değildir. (~~p)

~P ~ 
 
 
b. Tikel evetleme eklemi (Ú)

Bileşenlerden en az birinin doğru olduğunu kabul eden önerme eklemidir.

Hava bulutludur veya hava yağmurludur. (p Ú q))

p q

c. Tümel evetleme eklemi (Ù)

Bileşenlerinin tümünün doğru olduğunu kabul eden önerme eklemidir. Bileşenlerin birlikteliğini ifade eden ile, kadar, hem-hem, da-da tümel evetleme eklemiyle belirtilir.

Mevsim yazdır ve güneş yakıcıdır. (p Ù q)

p q

 

d. Koşul eklemi (Ş)

Yargının bir koşula bağlı olduğu önerme eklemidir.

Yağmur yağıyor ise hava bulutludur. (p Ş q)

p (ön bileşen) q (ard bileşen)

 

Hava bulutlu değilse yağmur yağmaz. (~q Ş ~p)

~q ~p

önermesi, p Ş q önermesinin mantıksal sonucudur. Dolayısıyla aynı doğruluk değerlerine sahiptirler.

Yağmur yağmıyor veya hava bulutludur. (~ p Ú q)

~ p q

önermesi de, p Ş q önermesinin mantıksal sonucudur. Dolayısıyla doğruluk değerleri aynıdır.

e. Karşılıklı koşul eklemi (Û)

Yargının sadece tek bir koşula bağlı olduğu önerme eklemidir.

Güneş doğduğunda ancak ve ancak gündüz olur. (p Û q)

6. Denetlemeler

a. Tutarlılık

▪Bir önermenin tutarlılığı : Yorumlama tablosunda doğrulardan oluşan en az bir satırı bulunan önermeler tutarlıdır.

Mevsim kıştır.  p 
 p

D Tutarlı

Y Geçersiz 
Not 1:

1. Tutarlı önermeler geçersiz olabilir.

2. Geçersiz önermeler tutarlı olabilir.

Mevsim kıştır veya mevsim kış değildir. (p Ú ~ p)

p ~ p

 

Not : 2 Geçerli her önerme tutarlıdır.

Mevsim kıştır ve mevsim kış değildir. (pÙ ~ p)

 

Not 3:

▪Tutarsız her önerme geçersizdir.

▪Geçersiz bir önerme tutarsız olabilir.

▪Birden fazla önermenin birlikte tutarlılığı: Yorumlama tablosunda doğrulardan oluşan ortak bir yorumu bulunan önermeler birlikte tutarlıdır.

~ p Ú q, ~ p Ş q

önermeleri birlikte tutarlıdır. 

b. Geçerlilik:

Yorumlama tablosunda yanlışlardan oluşan hiçbir satırı bulunmayan önermeler geçerlidir. Yukarıda geçen önermelerin geçerliliğini inceleyelim,

▪Çıkarımların Geçerliliği: Bir çıkarımın geçerli olması, öncülleri doğruyken sonucun yanlış olmamasına bağlıdır. Buna göre öncülleri doğru iken sonucu yanlış olan çıkarım geçersiz, diğer hallerde geçerlidir.Örnek:

Güneş doğmuştur. (p) öncül

O halde gündüz olmuştur (q) sonuç

p Ş q olarak sembolleştirilebilen bu çıkarımın geçerliliğini inceleyelim.

 

c. Eşdeğerlilik:

Aynı doğruluk değerine sahip önermeler eşdeğerdir.

 

Not: Bütün geçerli önermeler eşdeğerdir.

 

Not: Bütün tutarsız önermeler eşdeğerdir.

A, B gibi iki ayrı önermenin eşdeğer olması (aynı doğruluk değerinde olması) A Û B önermesinin geçerli olmasına veya ~ (A Û B ) önermesinin tutarsız olmasına bağlıdır.

Buna göre ~ (A Û B) tutarsız ise, (A Û B) geçerlidir. Dolayısıyla A ile B eşdeğerir.

B. YÜKLEMLER MANTIĞI

İçinde " " (her), $ (bazı) gibi niceleyici geçen önermeler yüklemler mantığının konusunu oluşturur. Bu önermelere genel önerme denir. İçine niceleyici geçmeyen önermelere de tekil önerme denir.

Yüklemler mantığında önermeler mantığından farklı olarak basit önermelerin iç yapıları da sembolleştirilebilmektedir. Örnek olarak:

"Bütün kuşlar kanatlıdır" önermesi önermeler mantığında p olarak sembolleştirilirken, yüklemler mantığında " "xFx  şeklinde sembolleştirilir. Bu ayrıntılı sembolleştirilmeden dolayı önermeler mantığında tutarlı olan bir önerme yüklemler mantığında tutarsız olabilmektedir.

1. Tanımlamalar

a. Değişmezler ve sembolleştirilmesi:

- Mantık değişmezleri

~, Ú, Ù, Ş, Û (önerme eklemleri)

", $ (niceleyiciler)

- Özel değişmezler

a, b, c...(ad değişmezleri )

F, G, H ...(yüklem değişmezleri)

Aristo filozoftur (Fa)

a F

Aristo insandır. (Ga)

a G

Sokrates insandır. (Gb)

b G

Aristo filozof ise Aristo insandır. (Fa Ş Ga)

Fa Ş Ga

b. Değişkenler: Belli bir değeri olmayan ve farklı değerler alabilen x, y, z... gibi sembollere değişken denir. içine x, y, z gibi değişken geçen önermelere de açık önerme denir. Örneğin;

"x < z"

"x + y = 4"

"z başkenttir." birer açık önermedir.

Açık önermelerin doğruluk değeri yoktur.

c. Tümel Niceleme: "x katıdır" (Kx) açık önermesi E= {demir, cam} evreninde

"Demir katıdır."

"Cam katıdır." özellemeleri yapıldığında, evrendeki tüm elemanlar (Tümel niceleme gereği evrendekilerin hepsi) açık önermedeki x'i karşılarsa, Kx açık önermesi verilen evren için
""x K x olarak gösterilir.

""x (x başkenttir)" önermesinin E = {Ankara, İstanbul} evreninde;

"Ankara başkenttir." D

"İstanbul başkenttir." Y

özellemeleri yapıldığında, D Ù Y º Y  sonucuna ulaşılır. Buna göre tümel niceleyici ile yapılan önerme verilen evrende gerçeklenmemiştir.

d. Tikel niceleme: "x sıvıdır." (Sx) açık önermesi E= {su, taş} evreninde, "Su sıvıdır."

"Taş sıvıdır." özellemeleri yapıldığında; evrendeki bazı elemanlar (Tikel niceleme gereği evrendekilerden en az biri) açık önermedeki x'i karşılarsa, Sx açık önermesi verilen veren için $ x S x olarak gösterilir.

"$  x (tek sayıdır.)" önermesinin E = {0, 1, 2}} evreninde

"0 tek sayıdır." Y

"1 tek sayıdır." D

"2 tek sayıdır." Y özellemeleri yapıldığında,

Y Ú D Ú Y º D  sonucuna ulaşılır. Buna göre tikel niceleyici ile yapılan önerme verilen evrende gerçeklenmiştir.

Tümel niceleyici ile yapılan önermelerde, özellemelerin arasında tümel evetleme eklemi (Ù) kullanılır. Tikel niceleyici ile yapılan önermelerde, önermeler arasında tikel evetleme eklemi (Ú) kullanılır. 

e. Niceleyici Değilleme Kuralları (Eşdeğerlilik)

~ " x F x º $ x ~Fx

~ $ x F x º " x ~Fx

~ " x ~ F x º $ x Fx

~ $ x ~ F x º " x Fx

Eşdeğerlilik Örnekleri

Her insanın fakir olduğu doğru değildir.

Bazı insanlar fakir değildir. 
 
 
Bazı insanların fakir olduğu doğru değildir.

Hiçbir insan fakir değildir. 
 
 
Hiçbir insanın fakir olmadığı doğru değildir.

Bazı insanlar fakirdir. 
 

Bazı insanların fakir olmadığı doğru değildir.

Her insan fakirdir. 

Editör 3

Sembolik Mantık önermeler mantığı ders notu konu özeti çalışma notları özetler ders anlatım eğitim öğretim kaynakları